二次函數知識總結
一、定義與定義表達式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax2+bx+c(a0)，則稱y為x的二次函數。
二、二次函數的三種表達式一般式：
y=ax2+bx+c(a0)頂點式：y=a(x-h)2+k(a0)，此時拋物線的頂點坐標為P(h，k)交點式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)僅用于函數圖像與x軸有兩個交點時，x1、x2為交點的橫坐標，所以兩交點的坐標分別為A(x1，0)和B(x2，0))，對稱軸所在的直線為x=注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：h=-，k=;x1,x2=;x1+x2=-
三、二次函數的圖像從圖像可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線，屬于軸對稱圖形。
四、拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線x=-，對稱軸與拋物線唯一的交點是拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-，)。當x=-時，y最值=，當a0時，函數y有最小值;當a0時，函數y有最大值。當-=0時，P在y軸上(即交點的橫坐標為0);當=b2-4ac=0時，P在x軸上(即函數與x軸只有一個交點)。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小(即形狀)。當a0時，拋物線開口向上;當a0時，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小。對于兩個拋物線，若形狀相同，開口方向相同，則a相等;若形狀相同，開口方向相反，則a互為相反數。
4.二次項系數a和一次項系數b共同決定對稱軸的位置，四字口訣為“左同右異”，即：當對稱軸在y軸左邊時，a與b同號(即ab當對稱軸在y軸右邊時，a與b異號(即ab0)。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點位置，拋物線與y軸交于點(0，c)。
6.拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交點個數與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點，對應方程有兩個不相同的實數根;=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點，對應方程有兩個相同的實數根。=b2-4ac0時，拋物線與x軸沒有交點，對應方程沒有實數根。
五、二次函數與一元二次方程
二次函數(以下稱函數)y=ax2+bx+c(a0)，當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。(參考四-6)
六、常用的計算方法
1、求解析式的時候：若給定三個普通點的坐標，則設為一般式y=ax2+bx+c(a0)，分別將三點坐標代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設的一般式中即可求出解析式;若給定有頂點坐標或對稱軸、最值，則設為頂點式y=a(x-h)2+k(a0)，再找一點坐標代入即可求出a，再代回設的頂點式即可求出解析式;若給定有與x軸的交點坐標，則設為交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)，再找一點坐標代入即可求出a，再代回設的交點式即可求出解析式。以上方法特別要注意括號內的正負號。
2、若求函數與x軸的交點坐標，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點的橫坐標;
3、若求函數的頂點坐標，用配方的方法或者直接套用頂點坐標的公式;
4、若求函數的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同頂點坐標)。
5、當需要判定函數y=ax2+bx+c(a0)與x軸沒有交點時，需判定方程ax2+bx+c=0的lt;0，同理，與x軸只有一個交點時，=0，與x軸有兩個交點時，gt;0。對的判定方法仍然是用配方的方法。
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