二次函數知識點總結

二次函數知識點總結

　　二次函數及其圖像

　　二次函數(quadraticfunction)是指未知數的最高次數為二次的多項式函數。二次函數可以表示為f(x)=ax^2bxc(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

　　一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

　　一般式

　　y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c為常數)，頂點坐標為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);

　　頂點式

　　y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點坐標為(-m，k)對稱軸為x=-m，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數y=ax∧2的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式;

　　交點式

　　y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線];

　　重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。

　　牛頓插值公式(已知三點求函數解析式)

　　y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導出交點式的系數a=y1/(x1*x2)(y1為截距)

　　求根公式

　　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

　　x是自變量，y是x的二次函數

　　x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

　　(即一元二次方程求根公式)

　　求根的方法還有因式分解法和配方法

　　在平面直角坐標系中作出二次函數y=2x的平方的圖像，

　　可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。

　　不同的二次函數圖像

　　如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數將是由一般式平移得到的。

　　注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數。

　　2畫出對稱軸，并注明X=什么

　　3與X軸交點坐標，與Y軸交點坐標，頂點坐標。拋物線的性質

　　軸對稱

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

　　頂點

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

　　當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2;-4ac=0時，P在x軸上。

　　開口

　　3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　決定對稱軸位置的因素

　　4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號

　　當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-b 2a="">0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

　　可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

　　事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值�？赏ㄟ^對二次函數求導得到。

　　決定拋物線與y軸交點的因素

　　5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于(0，c)

　　拋物線與x軸交點個數

　　6.拋物線與x軸交點個數

　　Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

　　當a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數，在

　　{x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

　　當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2c(a≠0)

　　特殊值的形式

　　7.特殊值的形式

　�、佼攛=1時y=abc

　�、诋攛=-1時y=a-bc

　�、郛攛=2時y=4a2bc

　�、墚攛=-2時y=4a-2bc

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