《函數的基本性質》知識點總結

《函數的基本性質》知識點總結

　　在日復一日的學習中，是不是經常追著老師要知識點？知識點也可以通俗的理解為重要的內容。掌握知識點有助于大家更好的學習。以下是小編精心整理的《函數的基本性質》知識點總結，歡迎大家分享。

　　基礎知識：

　　1.奇偶性

　�。�1）定義：如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數；如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數。如果函數f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.如果函數同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函數，又是偶函數。

　　注意：

　�、俸瘮凳瞧婧瘮祷蚴桥己瘮捣Q為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；

　�、谟珊瘮档钠媾夹远�義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。

　�。�2）利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：

　�、偈紫却_定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；

　�、诖_定f(－x)與f(x)的關系；

　�、圩鞒鱿鄳�結論：

　　若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數；

　　若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數。

　�。�3）簡單性質：

　�、賵D象的對稱性質：一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關于原點成中心對稱；一個函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸成軸對稱；

　�、谠Of(x)，g(x)的定義域分別是D1,D2，那么在它們的公共定義域上：

　　奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

　　2.單調性

　�。�1）定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I， 如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

　　注意：

　�、俸瘮档膯握{性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；

　�、诒仨毷菍τ趨^間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1

　�。�2）如果函數y=f(x)在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間。

　�。�3）設復合函數y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定義域的某個區間，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：

　�、偃魎=g(x) 在 A上是增

　�。ɑ驕p）函數，y= f(u)在B上也是增（或減）函數，則函數y= f[g(x)]

　　在A上是增函數；

　�、谌魎=g(x)在A上是增（或減）函數，而y= f(u)在B上是減（或增）函數，則函數y= f[g(x)]在A上是減函數。

　�。�4）判斷函數單調性的方法步驟

　　利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：

　�、偃稳�x1，x2∈D，且x1

　�。�5）簡單性質

　�、倨婧瘮翟谄鋵ΨQ區間上的單調性相同；

　�、谂己瘮翟谄鋵ΨQ區間上的單調性相反；

　�、墼诠�共定義域內：

　　增函數f(x)增函數g(x)是增函數；減函數f(x)減函數g(x)是減函數； 增函數f(x)減函數g(x)是增函數；減函數f(x)增函數g(x)是減函數。

　�、苋艉瘮祔f(x)是偶函數，則f(xa)f(xa)；若函數yf(xa)是偶函數，則f(xa)f(xa).

　　3.函數的周期性

　　如果函數y＝f(x)對于定義域內任意的x，存在一個不等于0的常數T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，則稱函數f(x)是周期函數，T是它的一個周期.

　　性質：

　�、偃绻鸗是函數f(x)的周期，則kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.

　�、谌糁芷诤瘮礷(x)的周期為T，則f(x)（0）是周期函數，且周期為T||。

　�、廴鬴(x)f(xa),則函數yf(x)的圖象關于點(,0)對稱; 若a2f(x)f(xa),則函數yf(x)為周期為2a的周期函數.

　　例題： 1.y1x2的遞減區間是 ；ylog1(x3x2)的單調遞增區間是 。 1x22.函數f(x)lg(21)的圖象（ ） 1xA.關于x軸對稱B. 關于y軸對稱C. 關于原點對稱 D. 關于直線yx對稱

　　3.設f(x)是定義在R上的奇函數，若當x0時，f(x)log3(1x)，則f(2)。

　　4.定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x2)f(x2)，若f(x)在[2,0]上遞增，則（ ）

　　A.f(1)f(5.5)B．f(1)f(5.5)C．f(1)f(5.5)D．以上都不對

　　5.討論函數f(x)x1的單調性。

　　6.已知奇函數f(x)是定義在(2,2)上的減函數,若f(m1)f(2m1)0，求實數m 的取值范圍。

　　7.已知函數f(x)的定義域為N，且對任意正整數x，都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(0)2004，求f(2004)。

　　、函數的解析式與定義域

　　1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數的定義域。求函數的定義域一般有三種類型：

　�。�1）有時一個函數來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮;

　�。�2）已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：

　�、俜质降姆帜覆坏脼榱�;

　�、谂即畏礁�的被開方數不小于零;

　�、蹖�數函數的真數必須大于零;

　�、苤笖岛瘮岛蛯�數函數的底數必須大于零且不等于1;

　�、萑�角函數中的正切函數y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

　　應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。

　�。�3）已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。

　　已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域。

　　2、求函數的解析式一般有四種情況

　�。�1）根據某實際問題需建立一種函數關系時，必須引入合適的變量，根據數學的有關知識尋求函數的解析式。

　�。�2）有時題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法。比如函數是一次函數，可設f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可。

　�。�3）若題設給出復合函數f[g（x）]的表達式時，可用換元法求函數f（x）的表達式，這時必須求出g（x）的值域，這相當于求函數的定義域。

　�。�4）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現其他未知量（如f（—x），等），必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達式。

　　函數的值域與最值

　　1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

　�。�1）直接法：亦稱觀察法，對于結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域。

　�。�2）換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元。

　�。�3）反函數法：利用函數f（x）與其反函數f—1（x）的定義域和值域間的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如（a≠0）的函數值域可采用此法求得。

　�。�4）配方法：對于二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法。

　�。�5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。

　�。�6）判別式法：把y=f（x）變形為關于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。

　�。�7）利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調性，可采用單調性法求出函數的值域。

　�。�8）數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域。

　　2、求函數的最值與值域的區別和聯系

　　求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲�。因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異。

　　如函數的值域是（0，16]，最大值是16，無最小值。再如函數的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數無最大值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時，函數的最小值為2�？梢姸�義域對函數的值域或最值的影響。

　　3、函數的最值在實際問題中的應用

　　函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最�。�”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。

　　習題：

　　題型一：判斷函數的奇偶性

　　1.以下函數：（1）y1(x0)；（2）yx1；（3）y2；（4）ylog2x；（5）x4xx2；其中奇函數是 ，偶函數是 ，ylog2(xx1)，(6)f(x)x222非奇非偶函數是。

　　2.已知函數f(x)=xx,那么f(x)是( )

　　A.奇函數而非偶函數 B. 偶函數而非奇函數

　　C.既是奇函數又是偶函數 D.既非奇函數也非偶函數

　　題型二：奇偶性的應用

　　1.已知偶函數f(x)和奇函數g(x)的定義域都是(-4,4),它們在4,0上的圖像分別如 圖（2-3）所示，則關于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_____________________。

　　圖(2-3)

　　2.已知f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a,b,c,d為常數，若f(7)7，則f(7)____

　　3.下列函數既是奇函數，又在區間1,1上單調遞減的是（）

　　A.f(x)sinx B.f(x)xC.f(x)1x2xaaxD.f(x)ln 22x

　　4.已知函數yf(x)在R是奇函數，且當x0時，f(x)x22x，則x0時，f(x)的 解析式為 。

　　5.若fx是偶函數,且當x0,時, fxx1,則fx10的解集是（ ）

　　A.x1x0 B. xx0或1x2 C. x0x2 D. x1x2 題型三：判斷證明函數的單調性

　　1.判斷并證明f(x)

　　22在(0,)上的單調性 x12.判斷f(x)2x2x1在(,0)上的單調性

　　題型四：函數的單調區間

　　1.求函數ylog0.7(x23x2)的單調區間。

　　2.下列函數中，在(,0)上為增函數的是（ ）

　　A.yx24x8 B.yax3(a0) C.y2 D.ylog1(x) x12

　　3.函數f(x)x

　　A.0,1的一個單調遞增區間是（ ） xB.,0C.0,1D.1,

　　4.下列函數中，在(0，2)上為增函數的是( )A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=

　　5.函數y=54xx2的遞增區間是( )

　　A.(-∞，-2)B.[-5，-2] C.[-2，1]D.[1，+∞)

　　題型五：單調性的應用

　　1.函數f(x)=x+2(a-1)x+2在區間(-∞，4)上是減函數，那么實數a的取值范圍是( )

　　A.[3，+∞ ) B.(-∞，-3] C.{-3}D.(-∞，5]

　　2.已知函數f(x)=2x-mx+3，當x∈(-2，+∞)時是增函數，當x∈(-∞，-2)時是減函數，則f(1)等于( )

　　A.-3B.13C.7 D.由m而決定的常數． 2242 D.y=x-4x+3 x

　　3.若函數f(x)x3ax2bx7在R上單調遞增，則實數a, b一定滿足的條件是（ ）

　　A．a3b0B.a3b0 22C．a3b0 2D．a3b1 2

　　4.函數f(x)3ax2b2a,x[1,1],若f(x)1恒成立，則b的最小值為 。

　　5.已知偶函數f(x)在(0，+∞)上為增函數，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 題型六：周期問題

　　1.奇函數f(x)以3為最小正周期，f(1)3，則f(47)為( )

　　A.3B.6C.-3 D.-6

　　2.設f(x)是定義在R上以6為周期的函數，f(x)在(0,3)內單調遞增，且y=f(x)的圖象關于直線x =3對稱，則下面正確的結論是()

　　A.f(1.5)

　　C.f(6.5)

　　x3.已知fx為偶函數,且f2xf2x,當2x0時,fx2,則f2006

　�。� ）

　　A．2006 B．4C．4 D． 1 4

　　4.設f(x)是(,)上的奇函數，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x，則f(47.5)等于_____

　　5.已知函數f(x)對任意實數x,都有f(x＋m)＝－f(x),求證:2m是f(x)的一個周期.

　　6、已知函數f(x)對任意實數x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函數,

　　求證:2m是f(x)的一個周期.

　　7、函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(－1)＝3，對任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.

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