• 等比數列的性質

    時間:2022-07-09 05:10:03 其他 我要投稿
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    等比數列的性質

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    等比數列的性質:

    第2課時 等比數列的性質

    知能目標解讀

    1.結合等差數列的性質,了解等比數列的性質和由來.

    2.理解等比數列的性質及應用.

    3.掌握等比數列的性質并能綜合運用.

    重點難點點撥

    重點:等比數列性質的運用.

    難點:等比數列與等差數列的綜合應用.

    學習方法指導

    1.在等比數列中,我們隨意取出連續三項及以上的數,把它們重新依次看成一個新的數列,則此數列仍為等比數列,這是因為隨意取出連續三項及以上的數,則以取得的第一個數為首項,且仍滿足從第2項起,每一項與它的前一項的比都是同一個常數,且這個常數量仍為原數列的公比,所以,新形成的數列仍為等比數列.

    2.在等比數列中,我們任取下角標成等差的三項及以上的數,按原數列的先后順序排列所構成的數列仍是等比數列,簡言之:下角標成等差,項成等比.我們不妨設從等比數列{an}中依次取出的數為ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,則 = = =…=qm(q為原等比數列的公比),所以此數列成等比數列.

    3.如果數列{an}是等比數列,公比為q,c是不等于零的常數,那么數列{can}仍是等比數列,且公比仍為q;?{|an|}?也是等比,且公比為|q|.我們可以設數列{an}的公比為q,且滿足 =q,則 = =q,所以數列{can}仍是等比數列,公比為q.同理,可證{|an|}也是等比數列,公比為|q|.

    4.在等比數列{an}中,若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+則aman=atas.理由如下:因為aman=a1qm-1•a1qn-1

    =a21qm+n-2,atas=a1qt-1•a1qs-1=a21qt+s-2,又因為m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.從此性質還可得到,項數確定的等比數列,距離首末兩端相等的兩項之積等于首末兩項之積.

    5.若{an},{bn}均為等比數列,公比分別為q1,q2,則

    (1){anbn}仍為等比數列,且公比為q1q2.

    (2) { }仍為等比數列,且公比為 .

    理由如下:(1) =q1q2,所以{anbn}仍為等比數列,且公比為q1q2;(2) • = ,

    所以{ }仍為等比數列,且公比為 .

    知能自主梳理

    1.等比數列的項與序號的關系

    (1)兩項關系

    通項公式的推廣:

    an=am• (m、n∈N+).

    (2)多項關系

    項的運算性質

    若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+),

    則am•an= .

    特別地,若m+n=2p(m、n、p∈N+),

    則am•an= .

    2.等比數列的項的對稱性

    有窮等比數列中,與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積(若有中間項則等于中間項的平方),即 a1•an=a2• =ak• =a 2 (n為正奇數).

    [答案] 1.qn-m ap•aq a2p

    2.an-1 an-k+1

    思路方法技巧

    命題方向 運用等比數列性質an=am•qn-m (m、n∈N+)解題

    [例1] 在等比數列{an}中,若a2=2,a6=162,求a10.

    [分析] 解答本題可充分利用等比數列的性質及通項公式,求得q,再求a10.

    [解析] 解法一:設公比為q,由題意得

    a1q=2 a1= a1=-

    ,解得 ,或 .

    a1q5=162 q=3 q=-3

    ∴a10=a1q9= ×39=13122或a10=a1q9=- ×(-3)9=13122.

    解法二:∵a6=a2q4,

    ∴q4= = =81,

    ∴a10=a6q4=162×81=13122.

    解法三:在等比數列中,由a26=a2•a10得

    a10= = =13122.

    [說明] 比較上述三種解法,可看出解法二、解法三利用等比數列的性質求解,使問題變得簡單、明了,因此要熟練掌握等比數列的性質,在解有關等比數列的問題時,要注意等比數列性質的應用.

    變式應用1 已知數列{an}是各項為正的.等比數列,且q≠1,試比較a1+a8與a4+a5的大小.

    [解析] 解法一:由已知條件a1>0,q>0,且q≠1,這時

    (a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)•(1-q4)

    =a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0,

    顯然,a1+a8>a4+a5.

    解法二:利用等比數列的性質求解.

    由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)

    =a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).

    當0<q<1時,此正數等比數列單調遞減,1-q3與a1-a5同為正數,< p="">

    當q>1時,此正數等比數列單調遞增,1-q3與a1-a5同為負數,

    ∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.

    ∴a1+a8>a4+a5.

    命題方向 運用等比數列性質am•an=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解題

    [例2] 在等比數列{an}中,已知a7•a12=5,則a8•a9•a10•a11=(  )

    A.10        B.25        C.50        D.75

    [分析] 已知等比數列中兩項的積的問題,常常離不開等比數列的性質,用等比數列的性質會大大簡化運算過程.

    [答案] B

    [解析] 解法一:∵a7•a12=a8•a11=a9•a10=5,∴a8•a9•a10•a11=52=25.

    解法二:由已知得a1q6•a1q11=a21q17=5,

    ∴a8•a9•a10•a11=a1q7•a1q8•a1q9•a1q10=a41•q34=(a21q17) 2=25.

    [說明] 在等比數列的有關運算中,常常涉及次數較高的指數運算,若按照常規解法,往往是建立a1,q的方程組,這樣解起來很麻煩,為此我們經常結合等比數列的性質,進行整體變換,會起到化繁為簡的效果.

    變式應用2 在等比數列{an}中,各項均為正數,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.

    [解析] ∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.

    又∵a4a8=5,an>0,

    ∴a4+a8= = = .

    探索延拓創新

    命題方向 等比數列性質的綜合應用

    [例3] 試判斷能否構成一個等比數列{an},使其滿足下列三個條件:

    ①a1+a6=11;②a3•a4= ;③至少存在一個自然數m,使 am-1,am,am+1+ 依次成等差數列,若能,請寫出這個數列的通項公式;若不能,請說明理由.

    [分析] 由①②條件確定等比數列{an}的通項公式,再驗證是否符合條件③.

    [解析] 假設能夠構造出符合條件①②的等比數列{an},不妨設數列{an}的公比為q,由條件①②及a1•a6=a3•a4,得

    a1+a6=11      a1= a1=

    ,解得 ,或

    a1•a6= a6= a6= .

    a1= a1=

    從而 ,或 .

    q=2 q=

    故所求數列的通項為an= •2n-1或an= •26-n.

    對于an= •2n-1,若存在題設要求的m,則

    2am= am-1+(am+1+ ),得

    2( •2m-1)= • •2m-2+ •2m+ ,得

    2m+8=0,即2m=-8,故符合條件的m不存在.

    對于an= •26-n,若存在題設要求的m,同理有

    26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.

    綜上所述,能夠構造出滿足條件①②③的等比數列,通項為an= •26-n.

    [說明] 求解數列問題時應注意方程思想在解題中的應用.

    變式應用3 在等差數列{an}中,公差d≠0,a2是a1與a4的等比中項,已知數列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比數列,求數列{kn}的通項kn.

    [解析] 由題意得a22=a1a4,

    即(a1+d) 2=a1(a1+3d),

    又d≠0,∴a1=d.

    ∴an=nd.

    又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比數列,

    ∴該數列的公比為q= = =3.

    ∴akn=a1•3n+1.

    又akn=knd,∴kn=3n+1.

    所以數列{kn}的通項為kn=3n+1.

    名師辨誤做答

    [例4] 四個實數成等比數列,且前三項之積為1,后三項之和為1 ,求這個等比數列的公比.

    [誤解] 設這四個數為aq-3,aq-1,aq,aq3,由題意得

    a3q-3=1, ①

    aq-1+aq+aq3=1 . ②

    由①得a=q,把a=q代入②并整理,得4q4+4q2-3=0,解得q2= 或q2=- (舍去),故所求的公比為 .

    [辨析] 上述解法中,四個數成等比數列,設其公比為q2,則公比為正數,但題設并無此條件,因此導致結果有誤.

    [正解] 設四個數依次為a,aq,aq2,aq3,由題意得

    (aq)3=1,     ①

    aq+aq2+aq3=1 .、

    由①得a=q-1,把a=q-1代入②并整理,得4q2+4q-3=0,解得q= 或q=- ,故所求公比為 或- .

    課堂鞏固訓練

    一、選擇題

    1.在等比數列{an}中,若 a6=6,a9=9,則a3等于(  )

    A.4         B.        C.         D.3?

    [答案] A?

    [解析] 解法一:∵a6=a3•q3,

    ∴a3•q3=6.?

    a9=a6•q3,

    ∴q3= = .

    ∴a3= =6× =4.

    解法二:由等比數列的性質,得

    a26=a3•a9,

    ∴36=9a3,∴a3=4.

    2.在等比數列{an}中,a4+a5=10,a6+a7=20,則a8+a9等于(  )

    A.90        B.30        C.70          D.40

    [答案] D

    [解析] ∵q2= =2,?

    ∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.

    3.如果數列{an}是等比數列,那么(  )?

    A.數列{a2n}是等比數列         B.數列{2an}是等比數列

    C.數列{lgan}是等比數列         D.數列{nan}是等比數列

    [答案] A

    [解析] 數列{a2n}是等比數列,公比為q2,故選A.

    二、填空題

    4.若a,b,c既成等差數列,又成等比數列,則它們的公比為 .?

    [答案] 1?

    2b=a+c,

    [解析] 由題意知

    b2=ac,

    解得a=b=c,∴q=1.

    5.在等比數列{an}中,公比q=2,a5=6,則a8= .?

    [答案] 48

    [解析] a8=a5•q8-5=6×23=48.

    三、解答題

    6.已知{an}為等比數列,且a1a9=64,a3+a7=20,求a11.?

    [解析] ∵{an}為等比數列,?

    ∴a1•a9=a3•a7=64,又a3+a7=20,?

    ∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的兩個根.?

    ∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?

    當a3=4時,a3+a7=a3+a3q4=20,?

    ∴1+q4=5,∴q4=4.?

    當a3=16時,a3+a7=a3(1+q4)=20,

    ∴1+q4= ,∴q4= .?

    ∴a11=a1q10=a3q8=64或1.

    課后強化作業

    一、選擇題

    1.在等比數列{an}中,a4=6,a8=18,則a12=(  )

    A.24        B.30        C.54        D.108?

    [答案] C?

    [解析] ∵a8=a4q4,∴q4= = =3,

    ∴a12=a8•q4=54.

    2.在等比數列{an}中,a3=2-a2,a5=16-a4,則a6+a7的值為(  )

    A.124        B.128       C.130       D.132

    [答案] B?

    [解析] ∵a2+a3=2,a4+a5=16,?

    又a4+a5=(a2+a3)q2,

    ∴q2=8.?

    ∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8=128.

    3.已知{an}為等比數列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于(  )

    A.5         B.10        C.15       D.20?

    [答案] A?

    [解析] ∵a32=a2a4,a52=a4a6,?

    ∴a32+2a3a5+a52=25,

    ∴(a3+a5) 2=25,?

    又∵an>0,∴a3+a5=5.

    4.在正項等比數列{an}中,a1和a19為方程x2-10x+16=0的兩根,則a8•a10•a12等于(  )

    A.16        B.32        C.64       D.256?

    [答案] C?

    [解析] 由已知,得a1a19=16,?

    又∵a1•a19=a8•a12=a102,

    ∴a8•a12=a102=16,又an>0,?

    ∴a10=4,

    ∴a8•a10•a12=a103=64.

    5.已知等比數列{an}的公比為正數,且a3•a9=2a25,a2=1,則a1=(  )?

    A.        B.        C.        D.2?

    [答案] B?

    [解析] ∵a3•a9=a26,又∵a3a9=2a25,?

    ∴a26=2a25,∴( )2=2,?

    ∴q2=2,∵q>0,∴q= .

    又a2=1,∴a1= = = .

    6.在等比數列{an}中,an>an+1,且a7•a11=6,a4+a14=5,則 等于(  )

    A.         B.         C.          D.6

    [答案] A

    a7•a11=a4•a14=6

    [解析] ∵

    a4+a14=5

    a4=3 a4=2

    解得 或 .

    a14=2 a14=3

    又∵an>an+1,∴a4=3,a14=2.

    ∴ = = .

    7.已知等比數列{an}中,有a3a11=4a7,數列{bn}是等差數列,且b7=a7,則b5+b9等于(  )

    A.2         B.4        C.8        D.16

    [答案] C

    [解析] ∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,

    ∴a7=4,∴b7=4,

    ∵{bn}為等差數列,∴b5+b9=2b7=8.

    8.已知0<a<b<c,且a,b,c成等比數列的整數,n為大于1的整數,則logan,logbn,logcn成< p="">

    (  )

    A.等差數列?              B.等比數列?

    C.各項倒數成等差數列?         D.以上都不對?

    [答案] C?

    [解析] ∵a,b,c成等比數列,∴b2=ac.?

    又∵ + =logna+lognc=lognac

    =2lognb= ,?

    ∴ + = .

    二、填空題

    9.等比數列{an}中,an>0,且a2=1+a1,a4=9+a3,則a5-a4等于 .

    [答案] 27

    [解析] 由題意,得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,

    ∴q2=9,又an>0,∴q=3.?

    故a5-a4=(a4-a3)q=9×3=27.

    10.已知等比數列{an}的公比q=- ,則 等于 .

    [答案] -3

    [解析]  =

    = =-3.

    11.(2012•株州高二期末)等比數列{an}中,an>0,且a5•a6=9,則log3a2+log3a9= .

    [答案] 2

    [解析] ∵an>0,∴log3a2+log3a9=log3a2a9

    =log3a5a6=log39=log332=2.

    12.(2011•廣東文,11)已知{an}是遞增等比數列,a2=2,a4-a3=4,則此數列的公比q=  .

    [答案] 2?

    [解析] 本題主要考查等比數列的基本公式,利用等比數列的通項公式可解得.

    解析:a4-a3=a2q2-a2q=4,?

    因為a2=2,所以q2-q-2=0,解得q=-1,或q=2.

    因為an為遞增數列,所以q=2.

    三、解答題

    13.在等比數列{an}中,已知a4•a7=-512,a3+a8=124,且公比為整數,求a10.

    [解析] ∵a4•a7=a3•a8=-512,

    a3+a8=124 a3=-4 a3=128

    ∴ ,解得 或 .

    a3•a8=-512 a8=128 a8=-4

    又公比為整數,

    ∴a3=-4,a8=128,q=-2.

    ∴a10=a3•q7=(-4)×(-2)7=512.

    14.設{an}是各項均為正數的等比數列,bn=log2an,若b1+b2+b3=3,b1•b2•b3=-3,求此等比數列的通項公式an.?

    [解析] 由b1+b2+b3=3,?

    得log2(a1•a2•a3)=3,

    ∴a1•a2•a3=23=8,

    ∵a22=a1•a3,∴a2=2,又b1•b2•b3=-3,

    設等比數列{an}的公比為q,得?

    log2( )•log2(2q)=-3.

    解得q=4或 ,

    ∴所求等比數列{an}的通項公式為

    an=a2•qn-2=22n-3或an=25-2n.

    15.某工廠2010年生產某種機器零件100萬件,計劃到2012年把產量提高到每年生產121萬件.如果每一年比上一年增長的百分率相同,這個百分率是多少?2011年生產這種零件多少萬件?.

    [解析] 設每一年比上一年增長的百分率為x,則從2010年起,連續3年的產量依次為a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1+x) 2,成等比數列.

    由100(1+x) 2=121得(1+x) 2=1.21,

    ∴1+x=1.1或1+x=-1.1,?

    ∴x=0.1或x=-2.1(舍去),?

    a2=100(1+x)=110(萬件),?

    所以每年增長的百分率為10%,2011年生產這種零件110萬件.

    16.等差數列{an}中,a4=10,且a3,a6,a10成等比數列.求數列{an}前20項的和S20.

    [解析] 設數列{an}的公差為d,則a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.

    由a3,a6,a10成等比數列得a3a10=a26,?

    即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,?

    整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.

    當d=0時,S20=20a4=200,?

    當d=1時,a1=a4-3d=10-3×1=7,?

    于是,S20=20a1+ d=20×7+190=330.


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