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人教A版教材《必修4》三角函數教學后
1. 依據新課程標準做好教學上整體的頂層設計
�。�1）必修1后接著學習必修4有利于對基本初等函數有一個系統掌握。函數是初中階段學生已經接觸過的知識點，但初中是用變量與變量間關系來介紹函數概念的，其重點是研究函數解析式；而高中的函數概念則是在映射觀點下的對應學，是建立在非空數集之間的一種對應關系。它的表現形式除解析式外，還可以運用圖象或列表。它的核心是三要素――定義域，對應法則及值域，而且函數可由定義域和對應法則完全確定。在此基礎上我們還研究了函數的單調性，奇偶性等性質，還學習了指數函數，對數函數及冪函數三種新的基本初等函數�；仡^我們還用它們進一步理解了函數的概念。但對于函數概念理解難以達到完美，這樣需要我們學習另一類基本初等函數――三角函數。與其他函數相比它是具有很多重要的特征，它以角為自變量，是周期函數，同時也是解決其他函數問題的重要工具，與后續學習的很多內容有聯系，是深化函數性質的極好教材。因此，接著必修1后學習必修4讓我們對基本初等函數有一個整體掌握，形成一串牢固的知識鏈條。
2. 第一章三角函數部分知識點教學設計與生成后的思考
�。�1）任意角的三角函數的概念。三角函數概念的發展前后經歷了4000多年，就初、高中教材體系而言，首先初中是把正弦、余弦、正切定義為直角三角形的邊長之比。因此，初中討論“三角函數”僅限于三角形內的三角函數。它解決的問題限于平面圖形相關的幾何問題。由于我們不能把任意角的三角函數看成銳角三角函數的推廣（或一般化），所以在高中學習的任意角三角函數內容應該是以函數的眼光對待，把對它的學習作為理解函數一些性質，如周期性。強調三角函數是用于刻畫生產生活中周期性發生變化的一個經典模型。為了建立角度集合與實數集間的一個對應，教材引入了弧度制。接下來就用單位圖給出了任意角的三角函數。教學中，大多數教師從給學生回顧初中銳角三角函數定義入手，然后讓學生考慮如何將銳角三角函數推廣到任意角三角函數，這樣的方式會使學生覺得任意三角函數是銳角三角函數的一種推廣。這樣方法會有以下不足：①沒有講明高、初中學習的三角函數研究方法本質上不同，容易引起概念的混淆。②沒有利用好單位圖。其實單位圖是函數周期性的一個很好體現，它是學生后續學習逐步認識三角函數周期性的重要模型。
理解三角函數概念我們要多視角，如幾何的、代數的、解析的等。教師的教學也不能將三角函數概念理解局限于一節課，一個章節里，了解學生的學習更是一個循序漸進的過程，因而在整個單元教學中應做到反復重視學生對任意角的三角函數概念理解的情況，從而達到對函數概念理解的又一次升華。
�。�2）正弦函數，余弦函數的圖象與性質。我們知道，實數集與角的集合之間可以運用度與弧度的互化建立一一對應關系。而一個確定的角又對應著唯一確定的正弦（或余弦）值，于是，給一個實數x，有唯一確定的值sinx （或cosx）與之對應，由這個對應法則所確定的函數y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函數（或余弦函數），其定義域為R。
《必修4》在講述三角函數后，將簡諧運動作為正弦（型）函數圖象的教學情景和應用。而普通高中物理課程標準在選修模塊《選修3-4》才介紹簡諧運動。顯然，高一物理課程不講授簡諧運動，因此，高一第一學期教授學生三角函數時，將簡諧運動作為正弦（型）函數圖象的教學情景應用就不合適了。為此，我們采用圓周運動或教室里日光燈的電流強度隨時間變化的規律作為教學的情景，因為它們的變化都呈現了周期性規律。
通過上述實驗或例子，對正弦函數和余弦函數的圖象形成一個較直觀的印象后，我們運用單位圖中的正弦線來畫比較精確的正弦函數圖象。在進行教學設計時，為了培養學生的學習能力和實踐操作能力，首先我們課前設計了一個3～4分鐘時間可播放完的“微視頻”，將運用單位圖中的正弦線畫正弦函數圖象分步展示給同學。在實驗操作完備后展示給同學們課堂上集中觀看“微視頻”。當視頻播放結束后，我們把預先設計好并打印的坐標紙發給每一個學生，給學生5分鐘時間完成用單位圖中的正弦線作y=sinx，x∈[0，2π]， 的圖象。當時學生表現出十分高的學習熱情。制圖完成后抽樣展示時發現都完成得十分認真。當老師再此提出如何獲得y=sinx，x ∈R的圖象時，絕大多數同學能回答出將圖象左、右平移（每次2π個單位長度）即可。這都是前面的實驗呈現出重復次數的周期性規律的成果。至于由y=sinx，x∈R的圖象獲得y=cosx，x∈R的圖象，學生們還回答出通過單位圖中余弦線或由公式cosx=sin，將y=sinx向左平移即得。
當然，這堂課的最后成果不僅僅是獲得正弦函數和余弦函數的圖象，而是從圖象上觀察出5個關鍵點決定正弦函數和與弦函數在長度為一個周期內的圖象，如y=sinx，x∈[0，2π] 的圖象上起關鍵作用的點為（0，0），（π，0），（2π，0），在精確度要求不太高時，找出了這五個點，再用光滑曲線連接，就可以得到函數的簡圖。這就形成了今后我們研究正弦（型）和余弦（型）函數圖象簡圖的通法“五點法”。本堂課產生知識環節的教學設計是：實驗―嘗試―探究―提煉。四步驟體系新課程標準課堂教學以學生為本，以學生主動學習為本的理念。貫穿于教學全過程就是教師主體引導下的學生主體活動由淺入深地連續開展，更符合運用數形結合的手段研究函數的一般規律。 （3）函數y=Asin（？Ax+？漬）的圖象。在A>0，？A>0的條件下，如何由y=sinx 的圖象經變換獲得y=Asin（？Ax+？漬）的圖象呢？教材上在探究每種變換時，并沒有用具體例子通過人工畫圖象后提煉規律，而是運用電腦軟件――幾何畫板的功能代替了，這樣過程令學生眼花繚亂，其變換規律難以體驗到位。因此，在我們的教學中，對于每種變換我們均設計例子并引導學生在課堂上動手用五點法操作，然后再結合電腦動畫進一步體驗規律。這樣的教學設計表面上因讓學生動手操作花了一些時間而“降低了”課堂效益，其實際上經學生動手的過程體驗而形成了理解性的知識規律，最后引導學生探討“圖象變換”法的具體過程。如何由y=sinx的圖象經歷平移變換和伸縮變換得到y=Asin （？Ax+？漬）的圖象，每經歷一部變換，五個關鍵點須作相應的變換，每一步變換卻抓住了這五個關鍵點，得到的簡圖就可據“五點法”畫出。這樣學生不但掌握了研究這類函數圖象的兩類方法，而且了解了兩類方法各自作用和互相聯系性。
3. 教學后的啟示與反思
�。�1）數學教師應該具有獨立處理教材，研究并合理運用好教材的能力，而不是照本宣科。隨著新課程改革向縱深發展，從傳統的“教教材”到現在的“用教材教”理念的轉變已經深入人心。教材僅是課程標準下提供給教師教學、學生學習知識的一個重要載體，但不是唯一載體。
在教學中，我們既考慮如何充分利用好教材，但又不能被教材所困。這就是需要吃透課程標準的前提下深入研究并發現學科知識本質的東西，尤其是考慮到“因材施教”，對于教材一些“啟”而未“發”的內容，我們可考慮重新按認知觀設計教學，教師做到對教材上一些概念、定理、公式、法則充分理解的前提下傳授給學生。比如：在研究三角函數的單調性時，學生總是吃不透函數單調性概念必須指明在特定的區間上，二者不可分割。因此出現有的同學提出y=sinx，x∈R在第一象限內是增函數問題時，教師必須強調象限角不是區間角，二者不能等同。我以y=在（-∞，0）和（0，+∞）內分別是減函數，而不能講y=在其他定義域內是減函數為例，考慮它的定義域已經不是獨立的區間了。文章第二部分提到幾個問題，也正好是體現了“用教材教”的理念。
�。�2）教學設計與生成應熟悉基本課型，規范操作須始終把學生的發展擺在首位。教學工作的主陣地是課堂。因此，學科教學能力是任何一個數學教師必須具備的基本能力。通常說教學有法，教無定法。所謂“有法”就是指教學應遵循一定教學規律與原則，每位數學教師應對新課程標準下高中數學教學基本課型“概念課”“習題課”“復習課”等進行系統梳理與探究，形成個人課堂教學的風格，而“教無定法”則是將其運用在具體課時進行教學設計與生成時做到“因時制宜”靈活使用。
如何在教師的教學工作中，始終將學生的發展放在首位？我想必須從以下幾點入手：①在教學設計時教師必須站在教學者的角色上，按知識產生發展及生成的認知規律去思考教學的基本環節；②教學生成做到問題引入盡量給出合適的情景，探究知識過程中通過預設好適合的問題串，引導學生充分思考后步步為營朝知識產生的路徑推進，切忌用師生交流替代生生間交流，培養學生學習過程中同伴互助的團隊精神，以達到既學習到學科知識，又提升了學科學習的文化素養，從而形成較完美的學習過程。尤其是課堂結束時的總結，更適合在學生間的交流與對話中形成，從而全面培養學生的自主學習能力；③作為課堂學習的延伸，教師在布置學生課外作業時，一方面要做到基礎性與綜合性比例適當，重視課本習題在鞏固知識與方法的基礎作用和引領作用，對于教輔上的習題，必須做到適當的取舍，考慮到學生層次差異可布置適合每層學生發展的習題；另一方面必須留出時間給學生對明天學習內容的預習，必要時可給學生提供學習新知的自學提綱或突破知識學習重難點的“微視頻”，以充分調動學生預習的靈動性，服務于明天的課堂。
�。�3）科學又適時的教學評價為師生教與學提供反思的素材。數學教師應立足工作實際，關注常態課堂。對于每一堂課，課前應認真進行教學目標分析，教學重難點確立，教學環節預設，板書合理設計等工作。同時在教學生成過程中，要適時用好學生學習過程性評價，特別關注學生課堂上主動思考后參與教師設問的回答。參加課堂上學習小組的研討與交流及課堂上在教師指導下的練習成果展示，尤其是課堂上練習的評價，教師可改過去一問一答的方式，而是通過一定數量的抽查，借助網絡直接傳送到教室媒體給大家展示，展示后的現場點評也無須由教師一個人包辦，可請同學上臺點評并說出自己的不同想法，讓整個課堂都動起來。通過這種過程性評價，極大調動學生主動學習與合作學習能力，教師適時做好活動后的推手，讓活動在不斷培養學習成功的成就感中風聲水起，學習過程的反思就會在這種全員參與過程中落到實處。上述活動是否能達到目的，其中一個關鍵就是在教學設計時必須設計好檢驗學生學習狀況的目標檢測題，在這些檢測題命制時是否領會了蘊含的數學思想。因此，命制目標檢測題必須圍繞教學目標、教學重點，更要體現試題層次性，如：研究y=Asin 圖象時，第一層次是“五點法”畫出它的圖象，屬基本題；第二層次是“變換法”由y=sinx圖象經變換后得出它的圖象；第三層次則是逆向設計，即如何由y=Asin 的圖象經變換得出y=sinx的圖象或者已知y=Asin 的圖象經若干次線性變換后的解析式，求原函數y=Asin 的解析式，從而訓練學生的逆向思維式發散性思維，促進學生數學思維碎片的提升。
另一種評價就是形成性評價。這里包括每天課后作業和單元章節形成性檢測。我們在必修模塊教學頂層設計時，特別要求在每一章節學習后必須隨堂進行形成性檢測，設計試題強調對基礎知識與基本方法的考查，尤其注重學生的知識鏈和方法串的系統性考查。因為必修模塊是高中數學知識體系的基礎，試題大部分都是以課本上課后練習題和習題為素材，經過適度加工、變式，同時還包括課本上一些重要基礎知識原生態出現在試題中。這樣“接地氣”的試題考試效果更具有實效性，容易準確地發覺問題出現在知識上還是方法上。這樣考試后教師可通過試卷整體分析找到教學上的不足，學生更能從錯誤反思中真實發覺自己學習上的學習水平差距，特別讓學生能夠從學習態度、學習方法、自主學習水平等方面悟清悟透。從而達到后續學習中學生逐步學會如何規劃自己的學習，如何抓牢知識系統掌握這一主業，通過階段性學習的目標檢測不斷完善自己的學習方式和適應未來的學習。
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